matematika

Bilangan Prima dan Bilangan Komposit

Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Contoh:

2 dan 3 adalah bilangan prima.

4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2.

Kesimpulan:

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18.

Contoh:

2 x 2 = 4 atau 2 x 2 x 2 = 8 atau 2² = 4 atau 2³ = 8

3 x 3 = 9 atau 3 x 3 x 3 = 27 atau 3² = 9 atau 3³ = 27

Kesimpulan:

Jika terdapat perkalian 2 bilangan prima atau lebih maka bilangan tersebut adalah bilangan komposit.

Pemfaktoran Prima dan FPB

Pemfaktoran prima

Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima.

Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh terakhir tersebut

Contoh:

Carilah faktor prima dari 180

180 = 2.90

90 = 2.45

45 = 3.15

15 = 3.5

180 = 2.2.3.3.5

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor Persekutuan Terbesar adalah faktor persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku polynomial.  Faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktor persekutuan lainnya. Contohnya:

1.      Pemfaktoran

Andi memiliki 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Dia berencana untuk membagikan buah-buah tersebut secara rata kepada temannya. Yang dimaksud rata di sini adalah bahwa temannya akan mendapatkan buah apel dan buah jeruk yang banyaknya sama dengan temannya yang lain. Ada berapa banyak teman Andi yang akan menerima buah-buahan tersebut? Berapa banyak teman Andi maksimal yang akan menerima buah-buahan tersebut?

    

Kemungkinan pertama, Andi dapat memberikan buah-buahan tersebut kepada seorang temannya. Sehingga temannya tersebut akan mendapatkan 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Kemungkinan ini merupakan kemungkinan yang paling sederhana. Kemungkinan kedua, Andi dapat memberikan buah-buahan tersebut kepada 2 orang temannya. Sehingga masing-masing temannya akan mendapatkan 12 : 2 = 6 buah apel dan 18 : 2 = 9 buah jeruk.

Apakah Andi dapat membagikan buah-buahannya tersebut secara rata kepada 4 orang temannya? Tentu tidak. Buah apel yang berjumlah 12 memang dapat dibagi dengan 4, akan tetapi banyaknya buah jeruk, yaitu 18, apabila dibagi dengan 4 sama dengan 4 dan sisa 2. Atau dengan kata lain, 18 dibagi 4 tidak menghasilkan suatu bilangan bulat. Ini dapat dikatakan bahwa 4 merupakan faktor dari 12, tetapi bukan faktor dari 18.

Faktor suatu bilangan adalah suatu bilangan yang dapat habis membagi bilangan tersebut.

Mari kita kembali kepada permasalahan di awal. Ada berapa banyak teman Andi yang akan menerima buah-buahan tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita daftar semua faktor dari 12 dan 18. Semua faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Sedangkan semua faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Kedua bilangan 12 dan 18 memiliki faktor-faktor yang sama, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Faktor-faktor yang sama tersebut disebut faktor persekutuan.

Cara menghitung FPB:

2.      Menentukan FPB dengan Cara Mendaftar (Tabel)

Misalkan kita akan menentukan FPB dari 24 dan 32. Pertama, kita daftar semua faktor dari 24 dan 32. Semua faktor dari 24 dan 32 dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut.

Dari tabel tersebut kita dapat memperoleh bahwa faktor persekutuan dari 24 dan 32 adalah 1, 2, 4, dan 8. Sehingga FPB dari 24 dan 32 adalah 8.

1.      Menentukan FPB dengan Faktorisasi Prima (pohon faktor)

Misalkan kita akan menentukan FPB dari 140 dan 250. Pertama, kita tulis 140 dan 250 dalam perkalian faktor-faktor primanya. Faktor-faktor prima dari 140 dan 250 dapat dicari dengan menggunakan pohon faktor.

Dari pohon faktor di atas dapat diperoleh:

140 = 2² × 5 × 7
250 = 2 × 5³

Setelah mengubah bilangan-bilangan 140 dan 250 ke dalam perkalian faktor-faktor primanya, selanjutnya kita tentukan FPB-nya, yaiitu gengan cara:

1.      FPB dari dua bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan faktor persekutuan prima dengan pangkat terendah. Faktor persekutuan prima dari 140 dan 250 adalah 2 dan 5.  Faktor prima 2 dari 140 berpangkat 2, sedangkan faktor prima 2 dari 250 berpangkat 1.

2.      Kita pilih yang pangkatnya terendah, yaitu 2 pangkat 1.

3.      Demikian juga dengan faktor prima 5 dari 140 dan 250, kita pilih faktor yang pangkatnya terendah, yaitu 5 pangkat 1.

4.      Sehingga FPB dari 140 dan 250 adalah 2 × 5 = 10.

1.      Menentukan FPB dengan Cara Sengkedan

Sekarang kita akan menentukan FPB dari 3 bilangan, yaitu 18, 24, dan 30. FPB dari 18, 24, dan 30 dapat ditentukan dengan cara sengkedan sebagai berikut.

Aturan dari cara sengkedan adalah sebagai berikut:

1.    Tuliskan bilangan-bilangan yang akan ditentukan FPB-nya secara mendatar.

2.    Carilah bilangan prima yang dapat membagi sebagian atau seluruh bilangan tersebut. Untuk mencari bilangan prima ini, sebaiknya pilih bilangan prima dari yang terkecil: 2, 3, 5, dan seterusnya.

3.    Apabila bilangan prima pembagi yang dipilih dapat membagi semua bilangan, lingkarilah bilangan prima tersebut. Tuliskan hasil baginya di baris bawah bilangan yang dibagi.

4.    Apabila ada bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima pembagi, tuliskan kembali bilangan tersebut di baris bawahnya.

5.    Lakukan terus menerus hingga mendapatkan suatu baris yang hanya berisi bilangan 1.

6.    FPB dari bilangan-bilangan yang dicari adalah perkalian semua bilangan prima pembagi yang dilingkari.

Dari contoh di atas, kita memperoleh bahwa bilangan prima pembagi yang dilingkari adalah 2 dan 3. Sehingga FPB dari 18, 24, dan 30 adalah 2 × 3 = 6.

sumber: http://yos3prens.wordpress.com/2013/06/07/faktor-faktor-persekutuan-dan-fpb/

http://awamtoawam.blogspot.com/2012/06/bilangan-prima.html

            http://yantievi.blogspot.com/2013/01/pemfaktoran.html

           http://yantievi.blogspot.com/2013/01/pemfaktoran.html

Read More

Bangun ruang Bola

BANGUN RUANG BOLA

Pengertian Bola

Bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola dapat di bentuk dari bangun setengah lingkaran yang di putar sejauh 360 pada garis tengahnya.

Contoh gambar Bola :

Unsur-unsur Bola

Perhatikan gambar berikut.

Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.

Luas Permukaan Bola

Pada tahun 287-212 M seorang matematikawan yang bernama Archimedes telah menemukan rumus permukaan bola. Hal ini tertuang dalam karyanya yang berjudul “On Sphres And Cylinders“. Archimedes menyatakan dalil yakni “Sebarang tabung yang alasnya kongruen dengan lingkaran terbesar pada bola dan tingginya sama dengan diameter bola, luas permukaan tabung itu sama dengan satu setengah kali luas permukaan bola”.

Penjelasan dalil itu merupakan bahwa perbandingan luas permukaan bola dengan luas permukaan / sisi ( termasuk sisi alas dan atas tabung terkecil yang muatannya adalah 2 : 3

Luas permukaan  bola = luas selimut tabung

= 2πrt

= 2πr x 2r

= 4πr²

jadi diperoleh Luas permukaan bola = 4πr2

Volume Bola

jadi volume bola

V= ⁴/₃ π r³ 

Contoh Soal

1.  Diberikan sebuah bola yang memiliki jari-jari sebesar 30 cm.
Tentukan:
a) volume bola
b) luas permukaan bola

penyelesaian
a) volume bola
V = ⁴/₃ π r³
V = ⁴/₃ x 3,14 x 30 x 30 x 30
V = 113 040 cm³
b) luas permukaan bola
L = 4π r²
L = 4 x 3,14 x 30 x 30
L = 11 304 cm²

2.  Volume sebuah bola 1.400 cm³. Tentukan jari-jari selimut bola.

Penyelesaian

V             =  r³

1.400       =  x 3,14 x r³

1.400       = 4,14 r³

r³                     = 334,13

r              = 6,9 cm

Read More

Bangun Ruang kerucut

BANGUN RUANG KERUCUT

Pengertian Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.

Unsur-unsur Kerucut

Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi.

menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s

dan panjang busur 2πr,

b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.

jarring-jaring kerucut

Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut

Perhatikan uraian berikut.

a.     Luas Selimut

luas Selimut = πrs

Sedangkan luas permukaan kerucut

= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr²
= πr (s + r), Jadi 

Luas Permukaan Kerucut = πr (s + r)

dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut
            s = garis pelukis (apotema)

b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.

V =  1/3 x luas alas x tinggi

Contoh Soal

1.        Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas sisi kerucut tersebut ( π = 3,14).

 Jawab :
Jari-jari alas = r = 6cm
Tinggi kerucut = t = 8 cm
S² = r²+ r²
S² = 6²+ 8² = 36 + 64 = 100
S =√100 = 10
Luas sisi kerucut = πr(r + s)
= 3,14 x 6 x (6 + 10) = 3,14 x 6 x l6 = 301,44

Jadi. luas sisi kerucut adalah 301,44 cm²

2.  Sebuah kerucut mempunyai jari-jari 9 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut (π = 3,14)

Jawab:

Volume kerucut = 1/3 x luas alas x tinggi

                      =  1/3x 3,14 x 9² x 4

Jadi Volume kerucut 339,12 cm²

Read More

surat resmi

Seperti yang kita ketahui dalam membuat surat resmi tentu ada kaidah-kaidah yang harus dilaksanakan/ditepati tentunya agar surat yang kita buat  benar dan baik.

Surat adalah sarana komunikasi untuk menyampaikan informasi tertulis oleh suatu pihak kepada pihak lain. Fungsinya mencakup lima hal:

1.     sarana pemberitahuan,

2.     permintaan,

3.     buah pikiran, dan gagasan,

4.     alat bukti tertulis, alat pengingat, bukti historis, dan

5.     pedoman kerja. Pada umumnya, dibutuhkan perangko dan amplop sebagai alat ganti bayar jasa pengiriman.

Semakin jauh tujuan pengiriman surat maka nilai yang tercantum di perangko harus semakin besar juga (http://id.wikipedia.org/wiki/Surat)

Surat resmi adalah surat yang digunakan untuk kepentingan resmi, baik perseorangan, instansi, maupun organisasi, misalnya undangan, surat edaran, dan surat pemberitahuan.

Adapun Ciri-ciri Surat Resmi adalah sebagai berikut:

1.     Menggunakan Bahasa Baku

2.     Terdapat Kop Surat

3.     Tanggal Surat alamat tujuan

4.     Memiliki Nomor Pengarsipan

5.     Hal, yaitu pemberitahuan mengenai isi surat

6.     Harus ditandatangani dan dibubuhi stempel instansi/badan.perusahaan

7.     Terdapat Tembusan (Bila Perlu)

Contoh kasus misalnya dimana kita harus membuat sebuah surat resmi ketika saat pihak organisasi suatu perusahaan misalnya lembaga sekolah ingin memberitahukan kegiatan sekolah kepada orangtua siswa. Pastinya surat dengan topik tertentu ini akan sangat bermanfaat bagi si penerima surat tersebut. Dan berikut ini adalah kumpulan contoh dari surat yang bersifat resmi.

SMA Negeri 1 Anjatan

Jl. Raya Kopyah, Anjatan Indramayu 45256

Email : sman1anjatan@haurgeulis.co.cc

__________________________________________________________________

Anjatan,  9 Januari  2014

No : 12/SMAN 1 Anjatan/1/2014                                       

Lampiran : -                                 

Perihal : Undangan

Yth.

Orang tua/Wali siswa-siswi kelas XII

SMA Negeri 1 Anjatan

Dengan hormat,

Dalam rangka meningkatkan pengetahuan para siswa siswi SMAN 1 Anjatan Khususnya kelas XII. Maka pada surat kali ini kami selaku badan pendidikan sekolah kami tercinta, bermaksud mengadakan studi lapangan bagi siswa siswi baik IPS maupun IPA di luar sekolah. Adapun acara tersebut akan kami laksanakan pada :

Hari, tanggal : Sabtu, 11 Januari 2014

Pukul : 07.00 s.d selesai

Tempat : Kebun Raya, Bogor

Acara :  Penelitian Tumbuhan Langka

Demikian surat pemberitahuan ini kami sampaikan, atas segala perhatian dan kerjasamanya kami ucapkan terima kasih.

                                                                                             Anjatan, 9 januari  2013

Kepala Sekolah

SMAN 1 Anjatan

Ttd, 

Taofik, S.Pd

#Contoh Dari individu ke instansi/sekolah

Yogyakarta, 11 Januari  2014

Yth. Bapak/ Ibu guru Wali kelas

di

Tempat

Dengan hormat,  yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama :
Kelas :

Dengan ini memberitahukan bahwa anak saya pada hari ini seni tagl 12 Januari 2014 tidak bisa masuk sekolah dan mengikuti pelajaran Bapak dan Ibu Guru sepenuhnya karena ada acara keluarga yang tidak dapat anak saya tinggalkan
Karena itu saya mohon Bapak/Ibu guru dapat memaklumi nya, Atas berkenan dan Izin Bapak saya mengucapkan terima kasih.

ttd

(Nama Orang Tua)

Membuat surat resmi sebetulnya cukup mudah, kita hanya perlu memahami saja apa kaidah penulisan yang harus kita tuangkan, dan setelah itu kita hanya membuat kata kata yang baik dan sopan agar surat yang dibuat sempurna.

 Sudah mengerti bukan? Semoga beranfaat. Selamat Membuat…………………………….

Read More