Bilangan
Prima dan Bilangan Komposit
Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar
dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Sepuluh
bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Contoh:
2 dan 3 adalah
bilangan prima.
4 bukan
bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2.
Kesimpulan:
Jika suatu
bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima, maka bilangan itu
disebut bilangan komposit.
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari
1 yang bukan merupakan bilangan prima atau bisa juga disebut bilangan yang
mempunyai faktor lebih dari dua. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai
faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih.
Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan
18.
Contoh:
2 x 2 = 4 atau
2 x 2 x 2 = 8 atau 22 = 4 atau 23 = 8
3 x 3 = 9 atau
3 x 3 x 3 = 27 atau 32 = 9 atau 33 = 27
Kesimpulan:
Jika terdapat
perkalian 2 bilangan prima atau lebih maka bilangan tersebut adalah bilangan
komposit.
Pemfaktoran Prima dan FPB
Pemfaktoran prima
Bilangan komposit
dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima.
Metode
pertama adalah dengan melakukan pembagian berulang dimulai dengan bilangan
prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh
terakhir tersebut
Contoh:
Carilah
faktor prima dari 180
180
= 2.90
90
= 2.45
45
= 3.15
15
= 3.5
180
= 2.2.3.3.5
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor
Persekutuan Terbesar adalah faktor
persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku
polynomial. Faktor persekutuan
terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara
faktor-faktor persekutuan lainnya. Contohnya:
1. Pemfaktoran
Andi
memiliki 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Dia berencana untuk membagikan
buah-buah tersebut secara rata kepada temannya. Yang dimaksud rata di sini
adalah bahwa temannya akan mendapatkan buah apel dan buah jeruk yang banyaknya
sama dengan temannya yang lain. Ada berapa banyak teman Andi yang akan menerima
buah-buahan tersebut? Berapa banyak teman Andi maksimal yang akan menerima
buah-buahan tersebut?
Kemungkinan pertama, Andi dapat memberikan
buah-buahan tersebut kepada seorang temannya. Sehingga temannya tersebut akan
mendapatkan 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Kemungkinan ini merupakan
kemungkinan yang paling sederhana. Kemungkinan kedua, Andi dapat memberikan
buah-buahan tersebut kepada 2 orang temannya. Sehingga masing-masing temannya
akan mendapatkan 12 : 2 = 6 buah apel dan 18 : 2 = 9 buah jeruk.
Apakah Andi dapat
membagikan buah-buahannya tersebut secara rata kepada 4 orang temannya? Tentu
tidak. Buah apel yang berjumlah 12 memang dapat dibagi dengan 4, akan tetapi
banyaknya buah jeruk, yaitu 18, apabila dibagi dengan 4 sama dengan 4 dan sisa
2. Atau dengan kata lain, 18 dibagi 4 tidak menghasilkan suatu bilangan bulat.
Ini dapat dikatakan bahwa 4 merupakan faktor dari 12, tetapi bukan
faktor dari 18.
Faktor suatu
bilangan adalah suatu bilangan yang dapat habis membagi bilangan tersebut.
Mari kita kembali kepada permasalahan di awal. Ada
berapa banyak teman Andi yang akan menerima buah-buahan tersebut? Untuk
menjawab pertanyaan ini, mari kita daftar semua faktor dari 12 dan 18. Semua
faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Sedangkan semua faktor dari 18
adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Kedua bilangan 12 dan 18 memiliki faktor-faktor
yang sama, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Faktor-faktor yang sama tersebut disebut faktor
persekutuan.
Cara menghitung FPB:
2. Menentukan
FPB dengan Cara Mendaftar (Tabel)
Misalkan kita akan
menentukan FPB dari 24 dan 32. Pertama, kita daftar semua faktor dari 24 dan
32. Semua faktor dari 24 dan 32 dapat ditentukan dengan menggunakan tabel
berikut.
Dari tabel
tersebut kita dapat memperoleh bahwa faktor persekutuan dari 24 dan 32 adalah
1, 2, 4, dan 8. Sehingga FPB dari 24 dan 32 adalah 8.
1.
Menentukan
FPB dengan Faktorisasi Prima (pohon faktor)
Misalkan kita akan menentukan FPB
dari 140 dan 250. Pertama, kita tulis 140 dan 250 dalam perkalian faktor-faktor
primanya. Faktor-faktor prima dari 140 dan 250 dapat dicari dengan menggunakan
pohon faktor.
Dari pohon faktor di atas dapat
diperoleh:
140 = 22 × 5 × 7
250 = 2 × 53
250 = 2 × 53
Setelah mengubah bilangan-bilangan
140 dan 250 ke dalam perkalian faktor-faktor primanya, selanjutnya kita tentukan
FPB-nya, yaiitu gengan cara:
1. FPB dari dua bilangan dapat
ditentukan dengan mengalikan faktor persekutuan prima dengan pangkat terendah. Faktor
persekutuan prima dari 140 dan 250 adalah 2 dan 5. Faktor prima 2 dari 140 berpangkat 2,
sedangkan faktor prima 2 dari 250 berpangkat 1.
2. Kita pilih yang pangkatnya terendah,
yaitu 2 pangkat 1.
3. Demikian juga dengan faktor prima 5
dari 140 dan 250, kita pilih faktor yang pangkatnya terendah, yaitu 5 pangkat
1.
4. Sehingga FPB dari 140 dan 250 adalah
2 × 5 = 10.
1.
Menentukan
FPB dengan Cara Sengkedan
Sekarang kita akan menentukan FPB
dari 3 bilangan, yaitu 18, 24, dan 30. FPB dari 18, 24, dan 30 dapat ditentukan
dengan cara sengkedan sebagai berikut.
Aturan dari cara sengkedan adalah sebagai berikut:
1. Tuliskan bilangan-bilangan yang akan
ditentukan FPB-nya secara mendatar.
2. Carilah bilangan prima yang dapat
membagi sebagian atau seluruh bilangan tersebut. Untuk mencari bilangan prima
ini, sebaiknya pilih bilangan prima dari yang terkecil: 2, 3, 5, dan seterusnya.
3. Apabila bilangan prima pembagi yang
dipilih dapat membagi semua bilangan, lingkarilah bilangan prima tersebut.
Tuliskan hasil baginya di baris bawah bilangan yang dibagi.
4. Apabila ada bilangan yang tidak
habis dibagi oleh bilangan prima pembagi, tuliskan kembali bilangan tersebut di
baris bawahnya.
5. Lakukan terus menerus hingga
mendapatkan suatu baris yang hanya berisi bilangan 1.
6. FPB dari bilangan-bilangan yang
dicari adalah perkalian semua bilangan prima pembagi yang dilingkari.
Dari contoh di atas, kita memperoleh
bahwa bilangan prima pembagi yang dilingkari adalah 2 dan 3. Sehingga FPB dari
18, 24, dan 30 adalah 2 × 3 = 6.
sumber: http://yos3prens.wordpress.com/2013/06/07/faktor-faktor-persekutuan-dan-fpb/
